Ensiklopedia

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan ( ) Tabel turunan Diferensial fungsi total Konsep Turunan kedua Turunan ketiga Pendiferensialan implisit Teorema Taylor Kaidah dan identitas Perkalian Rantai Pangkat Pembagian
Integral Definisi Antiderivatif Integral ( takwajar ) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi ( )
Deret geometri ( ) harmonik selang-seling pangkat Taylor Uji kekonvergenan uji suku
Vektor Gradien Divergence Teorema Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus
l b

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor . Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor . Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin , dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Deret Taylor dari sebuah atau f ( x ) yang dalam sebuah sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

dengan n ! melambangkan faktorial n dan f ^{( n )} ( a ) melambangkan nilai dari turunan ke- n dari f pada titik a . Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan ( x − a ) ⁰ dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin .

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sin x sekitar intinya x = 0 . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

${\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai | x | ⁹ 9! . Secara khusus, untuk nilai −1 < x < 1 , kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai ln(1 + x ) dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai a = 0 . Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari −1 < x ≤ 1 ; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan . ^{[ butuh rujukan ]}

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai n Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau dan dilambangkan dengan fungsinya R _n ( x ) . Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen . Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah di dari . Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi f konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya f ( x ) . Misalnya Fungsi

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari . Akibatnya, deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana. ^{[ 1 ]}

Namun demikian, ada generalisasi ^{[ 2 ] [ 3 ]} dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap dari fungsi kontinu pada nilai (0,∞) , menggunakan kalkulus . Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena , bahwa untuk apa saja t > 0 ,

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$

Darimana nilai Δ n h adalah n Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah h . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan . Saat fungsinya f bersifat analitik di a , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun a _i , identitas deret pangkat berikut berlaku:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$

Jadi secara khusus,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-{\frac {t}{h}}}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {\left({\frac {t}{h}}\right)^{j}}{j!}}.}$

menyiratkan bahwa identitas memegang. ^{[ 4 ]}

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul. ^{[ 5 ]} Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks x .

Fungsi eksponensial pada ${\displaystyle e^{x}}$ (dengan basis ) memiliki deret Maclaurin

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$ .

Hal tersebut menyatu untuk nilai x .

Logaritma natural (dengan basis ) memiliki deret Maclaurin

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$

dan turunannya memiliki deret Maclaurin

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$

Semuanya konvergen untuk ${\displaystyle |x|<1}$ . Ini adalah kasus khusus dari of binomial series diberikan di bagian selanjutnya.

adalah deret pangkat

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$

yang koefisiennya adalah umum

${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$

(Jika n = 0 , produk ini adalah dan memiliki nilai 1.) Menyatu ${\displaystyle |x|<1}$ untuk bilangan real atau kompleks apa pun α .

Darimana nilai α = −1 , ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus α = 1 2 dan α = − 1 2 berikan fungsi akar kuadrat dan :

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\ldots ,\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\ldots .\end{aligned}}}$

Jika hanya yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi .

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$

Semua sudut diekspresikan dalam radian . Angka-angka B _k muncul dalam perluasan tan x adalah . Hal itu E _k dalam perluasan sec x adalah .

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$

Angka-angka B _k muncul di seri untuk tanh x adalah .

Bagian ini memerlukan pengembangan . Anda dapat membantu dengan .

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial . Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi ${\displaystyle f(x,y)}$ yang bergantung pada dua variabel, x dan y , seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya ( a , b ) adalah

${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial .

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$

Darimana D f ( a ) adalah gradien dari nilai f dievaluasi pada x = a dan D ² f ( a ) adalah . Menerapkan deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$

yang harus dipahami sebagai versi yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik ( a , b ) = (0, 0) dari fungsi tersebut

${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

${\displaystyle T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}+\cdots }$

menghasilkan

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}}$

Setelah ln(1 + y ) bersifat analitik | y | < 1 , kita punya

${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk (1 − x ) ⁻¹ merupakan deret geometri

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

maka deret Taylor untuk x ⁻¹ pada a = 1 adalah

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk log(1 − x ) , di mana log melambangkan logaritma natural :

${\displaystyle -x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!}$

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log( x ) pada a = 1 adalah

${\displaystyle (x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!}$

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log( x ) pada suatu a = x ₀ adalah:

${\displaystyle \log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .}$

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial e ^x pada a = 0 adalah

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e ^x terhadap x juga adalah e ^x dan e ⁰ sama dengan 1. Ini menyisakan elemen ( x − 0) ⁿ pada numerator dan n ! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

• Teorema Taylor
• Deret pangkat
• Teorema nilai purata

• ; (1970), , New York: , Ninth printing
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.) , Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.) , Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Taylor Series" . MathWorld .
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• " Discussion of the Parker-Sochacki Method Diarsipkan 2005-12-02 di Wayback Machine ."
• Another Taylor visualisation Diarsipkan 2007-06-05 di Wayback Machine . - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods pada Numerical Methods for the STEM Undergraduate